Театральный режиссёр и актёр. Бывший главный режиссёр Росгосцирка. Преподаватель Школы-студии МХАТ, режиссёр «Мастерской Брусникина», помощник художественного руководителя театра «Практика». Один из основателей независимой творческой актёрско-режиссёрской группы Le Cirque de Charles La Tannes. Работал над такими постановками, как «Занавес», «Зарница», «Господин Слуга» и другими. Трактуя театр как пограничное пространство, Квятковский экспериментирует со смежными видами искусств, в том числе с оперой и цирком. Проявляется в разных форматах: аудиоспектаклях, инсталляциях, перформансах в музеях, уличном и музыкальном театре, спектаклях, опен-эйрах, ивентах. Спектакли и проекты Юрия многократно отмечены премией Сергея Курёхина, премией «Золотая Маска», премией Кандинского, премией «Инновация», театральной премией Петербурга «Золотой софит» и другими.